*２値化 とは 　多値の画像を２値の画像に変換する処理を２値化と呼びます．画像の２値化の例を図１に示します． [img:wmbr] {{small:図１ 多値（０～２５５）の入力画像と２値化した出力画像　閾値は１００}} 　画像の２値化は，物体検出を簡単にするための前処理に良く利用されます．具体例の１つとして，[link:ARマーカー]の検出があります． *サンプルコード (C++) ライブラリ：[link:simplesp] サンプルコード：simplesp/sample/sp/imgproc 入力画像を２値化します． *アルゴリズム 　基本的には，画像の各画素値を閾値により大小判定することで２値化を行います． {# for (int i = 0; i < width * height; i++){     bin[i] = (img[i] >= thresh) ? 255 : 0; } #} **閾値の手動設定 　図２は，図１の入力画像のヒストグラムです． [img:wgvf] {{small:図２ 図１の入力画像のヒストグラム}} 　 　このヒストグラムから，図１の入力画像をうまく２値化するには５０～１００ぐらいの閾値を設定すればよいことが分かります．このように，入力画像の大体の画素値の分布が分かれば，人が適切な閾値を設定できる場合があります． 　しかし，閾値の設定を誤ると，所望の２値化画像が得られない場合があります．図３は閾値１４０で２値化した結果です．閾値が大きすぎたため，入力画像の左上のやや暗い部分が０として判定されています． [img:qw7l] {{small:図３ 閾値１４０で２値化した結果}} **閾値の自動設定（大津の方法） 　入力画像の輝度値の分布に合わせて，閾値を自動設定する大津の方法[1]について説明します． {{small:[1]Nobuyuki Otsu, "A threshold selection method from gray-level histograms", IEEE Transactions on Systems, Man, and Cybernetics, 1979 [link:https://engineering.purdue.edu/kak/computervision/ECE661.08/OTSU_paper.pdf] }} 　大津の方法では，ヒストグラムを分離した時の”分離度”を最大化する閾値を探索します．例えば，ある閾値でヒストグラムを２つのクラスに分離した結果を図４に示します． [img:3wkq] {{small:図４ ヒストグラムを２クラスに分離した結果}} 　ここでクラスの分離度は，分離した２つのクラスの"クラス内分散"と"クラス間分散"の比によって計算します．クラス内分散{$\sigma_W^2$}はクラス内に属する画素値の平均的な分散を表し，クラス間分散{$\sigma_B^2$}は２つのクラス間の広がりを表します．それぞれ以下の式で定義されます． {$$ \begin{align*} \sigma_W^2 &= w_0 \sigma_0^2 + w_1 \sigma_1^2 \\ \\ \sigma_B^2 &= w_0 (\mu_0 - \mu_T)^2 +  w_1 (\mu_1 - \mu_T)^2 = w_0 w_1 (\mu_0 - \mu_1)^2 \\ \\ \sigma_T^2 &= \sigma_W^2 + \sigma_B^2 \end{align*} $$} 　ここで，{$w_0$}と{$w_1$}は各クラスに属する画素数の割合です（{$w_0 + w_1 = 1$}）．{$\sigma_0^2$}と{$\sigma_1^2$}は各クラスに属する画素値の分散です．{$\mu_T$}は画像全体の画素値の平均値を表し，{$\mu_0$}と{$\mu_1$}は各クラスに属する画素値の平均値です（{$\mu_T = w_0 \mu_0 + w_1 \mu_1$}）．また，画像全体の画素値の分散{$\sigma_T^2$}はクラス内分散とクラス間分散の和で計算できます． 　そうすると，分離度{$X$}は次の式で定義できます． {$$ X = \frac{\sigma_B^2}{\sigma_W^2} = \frac{\sigma_B^2}{\sigma_T^2 - \sigma_B^2} $$} 　ここで，{$\sigma_T^2$}は画像全体の画素値の分散を表す定数です．従って，分離度を最大化するには{$\sigma_B^2$}を最大化すれば良いことが分かります．あとは，想定するすべての閾値（０～２５５）について{$\sigma_B^2$}を計算し，それが一番大きくなる閾値を探し出します． 　大津の方法によって閾値を計算し２値化した例を図４に示します．ちなみにこの例では，閾値は８４と計算されました． [img:bvq9] {{small:図４ 大津の方法によって２値化した結果}}